Beşiktaşımız’ın eski kalecilerinden Fikret Yılmaz’ın oğlu olan Burak, futbolla Antalyaspor’un altyapısında tanıştı. 2005-2006 sezonunda Antalyaspor’da gösterdiği performans ile takımının Süper Lige çıkmasına büyük katkı yapan Burak Yılmaz, teknik direktör Jean Tigana’nın ve Milli Takımlar Teknik Direktörü Fatih Terim’in dikkatini çekti. İlk olarak Fatih Terim tarafından Milli Takım’a çağırılan oyuncu, 2006-2007 sezonu başında ise Tigana’nın isteği ile Beşiktaş formasına kavuştu.